seriler-polinomlar-ve-çeşitli-matematiksel-ifadeler

Matematiksel anlamda tüm doğal sayıları topladığımızda ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) sizce hangi sonuca ulaşırız? Mantıklı olarak baktığımızda toplam sayının:

  • Pozitif olması,
  • Tam sayı olması,
  • Doğal olarak + gibi çok yüksek bir sayı olması gerekeceğini düşünüyorsanız hayal kırıklığına uğramaya hazırlansanız iyi olur.

           Sırasıyla bulmamız gereken denklemler:

  1. Grandi Serisi olarak adlandırılan 1–1+1–1+1–1 sonsuz serisi,
  2. Leonhard Euler’in, bir paradoks olduğunu kabul ettiği 1–2+3–4+5–6 sonsuz serisi,
  3. Son olarak 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 sonsuz serisinin toplamına ulaşacağız.

 

1. Denklem 

1–1+1–1+1–1 ⋯ sonsuz serisi Grandi Serisi” olarak adlandırılır.

Grandi Serisi’nin kuantum mekaniği ve Sicim Teorisi de dahil olmak üzere birçok ilginç denklemi ispatlamak için kapıyı araladığını biliyor muydunuz?

Bir dizi ile başlıyorum, A, 1-1 + 1-1 + 1-1 sonsuz sayıda tekrarlıyor. Bunu şöyle yazalım:

A = 1–1+1–1+1–1 ­

Sonra A’yı 1’den çıkaralım.

  • 1-A=1-(1–1+1–1+1–1⋯)

Denklemin sağ tarafını basitleştirirsek çok tuhaf bir şey ile karşı karşıya kalıyoruz:

  • 1-A=1–1+1–1+1–1+1⋯

Tanıdık göründü değil mi? Burası önemli, kaçırma! Denklemin sağ tarafı başladığımız seri ile aynı düzeni aldı. Böylece sağ tarafta oluşan denklem yerine A’yı koyabiliriz.Şimdi basit bir cebir işlemi uygulayalım.

  • 1-A =A
  • 1-A+A=A+A
  • 1 = 2A
  • 1/2 = A

Böylelikle A = 1–1+1–1+1–1⋯ ­=1/2 eşit olduğunu bulmuş olduk.

1'den-çok-discriminant-2. dereceden-denklem-ispatları

 2. Denklem 

18. yüzyılın ortalarında Leonhard Euler, bir paradoks olduğunu kabul ettiği “1–2+3–4+5–6⋯” terimlerinin işaretleri sırasıyla değişen ardışık pozitif tam sayıların oluşturduğu sonsuz bir seriden bahsetmiştir. 

Maalesef ki bu denklemin herhangi bir adı bulunmamaktadır. Birçok matematikçi tarafından aynı anda paradoksal bir denklem olarak etiketlenmiştir. Bununla birlikte, Euler’in Basel Sorunu‘ndaki araştırmalarını genişletmesine ve Reimann Zeta Fonksiyonu gibi önemli matematiksel fonksiyonlara öncülük etmesine yardımcı oldu.        

B= 1–2+3–4+5–6⋯ 

B = 1–2 + 3–4 + 5–6 ⋯ dizisi şeklinde devam ederek yukarıdaki denklem ile aynı şekilde başlıyoruz.

Bu kez, B’yi 1’den çıkarmak yerine, B’yi A’dan çıkaracağız.

  • A-B = (1–1+1–1+1–1⋯) — (1–2+3–4+5–6⋯)
  • A-B = (1–1+1–1+1–1⋯) — 1+2–3+4–5+6⋯

Sonra A’nın ilk terimi ile B’nin ilk terimini toplayalım sırası ile sonsuza kadar devam etsin.

  • A-B = (1–1) + (–1+2) +(1–3) + (–1+4) + (1–5) + (–1+6)⋯
  • A-B = 0+1–2+3–4+5⋯

Başladığımız diziyi elde ettik ve yukarıdaki denklemden A‘nın 1/2 olduğunu biliyoruz. Sağdaki denklem yerine şuan B yazabiliriz.

  • A-B = B
  • A = 2B
  • 1/2 = 2B
  • 1/4 = B

Böylelikle B= 1–2+3–4+5–6⋯=1/4 eşit olduğunu bulmuş olduk.

çeşitli-seriler-integral-2-değişkenliler-matematiksel-ifadeler-

3. Denklem 

C = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ⋯ dizisine izin vererek başlıyoruz ve C’yi B’den çıkaralım.

  • B-C = (1–2+3–4+5–6⋯)-(1+2+3+4+5+6⋯)

Matematik olağanüstü şekilde bizi etkilemeye devam ediyor. B’nın ilk terimi ile C’nin ilk terimini toplayalım.

  • B-C = (1-2+3-4+5-6⋯)-1-2-3-4-5-6⋯
  • B-C = (1-1) + (-2-2) + (3-3) + (-4-4) + (5-5) + (-6-6) ⋯
  • B-C = 0-4+0-8+0-12⋯
  • B-C = -4-8-12⋯

Sağ taraftaki tüm terimler -4’ün katları olduğunu görüyoruz ve denklemi -4 parantezine aldığımızda parantez içinde kalan sayıların C (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ⋯) olduğunu göreceğiz.

Bakalım bizi hangi sonuca götürecek?

  • B-C = -4(1+2+3⋯)
  • B-C = -4C
  • B = -3C

Hatırlasanız yukarıdaki denklemde B = 1/4 gibi bir değere sahip olduğunu bulmuştuk. Bu değeri basitçe yerine koyalım ve büyülü sonucumuzu alalım:

  • 1/4 = -3C
  • 1/-12 = C veya C = -1/12

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ⋯ = -1/12 

veya 

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ⋯  -1/12

Sonucun -1/12‘ye eşit olamayacağını düşünen bazı matematikçiler ise “eşit değil” sadece “gidebilir- şeklinde ifade etmişlerdir. Ancak yukarıda açıklanan denklemin aksini henüz ispatlayabilmiş değiller.

Ayrıca belirtmek gerekir ki bu denklemin aksini ispatlayan kişiye 1 milyon dolar verileceği söylenmektedir!

Kaynakça:

 1

2

3